Contrôle des équations aux dérivées partielles paraboliques dégénérées, exemple de l'équation de Grushin

Résumé : Considérons un solide, dont la surface est à température constante. En le laissant évoluer, sa température tend à s'homogénéiser, tendant en temps infini vers la température extérieure. On se demande si, en chauffant ou refroidissant uniquement une petite partie de ce solide, on peut l'amener en temps fini à température constante. La réponse, peut-être surprenante au premier abord, est qu'on peut toujours le faire, aussi petite soit la partie que l'on chauffe ou refroidit, et on peut le faire en temps arbitrairement petit.
Bien que ce résultat soit connu depuis 20 ans, si on considère une équation parabolique dégénérée, c'est-à-dire dont les coefficients peuvent s'annuler, on ne connait pas encore de réponse générale. Nous donnerons les résultats existants pour l'équation de Grushin $\partial_t -\partial_x^2 - x^2\partial_y^2$, qui indiquent que la situation est considérablement plus compliquée pour les équations paraboliques dégénérées que pour l'équation de la chaleur.