Étude d’une classe de schémas aux différences finies compacts d’ordre élevé: critères d’optimalité et résonances

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Résumé : On revisitera le problème classique de l’approximation des solutions du problème de Dirichlet homogène en dimension 1 par des schémas aux différences finies compacts. J’introduirai une large classe naturelle de schémas d’ordre arbitrairement élevé puis détaillerai sa structure algébrique. Après avoir donné des critères généraux de convergence, je vous présenterai deux nouveaux résultats. D’abord, à l’aide de la théorie de l’approximation de Padé, je construirai pour chaque ordre de consistance, les schémas les plus efficaces et prouverai leur convergence. Enfin, à l’aide de la théorie de l’approximation Diophantienne, je vous expliquerai pourquoi presque tout schéma consistant est convergent, son ordre étant donné par sa consistance, à une correction logarithmique près.