Précision p-adique, précision différentielle, application aux équations différentielles p-adiques

Ces dernières décennies ont vu émerger et se populariser de nombreuses méthodes p-adiques pour traiter des problèmes effectifs sur les rationnels ou sur les corps finis. Plus proche, en un sens, de ces problèmes, elles ont en outre l'avantage par rapport aux méthodes réelles/flottantes d'amener à une étude numérique plus simple.
En effet, lorsqu'on souhaite travailler de manière effective avec des nombres p-adiques, on est nécessairement confronté avec le fait de devoir travailler en précision finie. Avec X. Caruso et D. Roe, nous avons développé une manière optimale (en un sens) d'estimer la perte de précision au cours d'un calcul. On peut appeler cette méthode : étude différentielle de la précision, et l'idée essentielle est qu'elle montre qu'il suffit de travailler au premier ordre.
Nous avons aussi montré que l'on pouvait atteindre cette perte de précision optimale par une méthode dite de "relevés arbitraires".

Cet exposé aura pour but premier d'être une introduction au monde de l'analyse numérique p-adique. Nous présenterons et illustrerons les méthodes d'étude différentielles de la précision et des "relevés arbitraires" à travers leur application à l'étude d'équations différentielles p-adiques utilisées pour des calculs de polynômes composés ou d'isogénies entre courbes elliptiques. Cette dernière partie est un travail en cours avec Pierre Lairez.