Global existence and fast-reaction limit in reaction-diffusion systems with cross effects

On étudie des systèmes d'équations aux dérivées partielles paraboliques issus de modèles de cinétique chimique, de dynamique des populations et de la théorie de l'électromigration. On s'intéresse à des questions d'existence de solutions globales en temps, à l'unicité de solutions faibles, ainsi qu'à la limite de réaction rapide dans un système de réaction-diffusion.

Dans un premier chapitre, on étudie deux systèmes aux diffusions croisées. On commence par s'intéresser à un modèle de dynamique des populations, où les effets croisés dans les interactions entre les différentes espèces sont modélisés par des opérateurs non locaux. Pour toute dimension d'espace, on prouve l'existence et l'unicité de solutions globales régulières. On s'intéresse ensuite à un système aux diffusions croisées qui apparaît comme la limite de réaction rapide d'un système classique associé à la réaction chimique C1+C2=C3. On prouve alors la convergence, lorsque k tend vers l'infini, de la solution du système avec une vitesse de réaction finie k, vers une solution globale du système limite.

Le second chapitre contient de nouveaux résultats d'existence globale pour des systèmes de réaction-diffusion. Pour des réseaux de réactions chimiques élémentaires du type Ci+Cj=Ck qui suivent la loi d'Action de Masse, on montre l'existence et l'unicité de solutions globales fortes, pour des dimensions en espace N<6 dans le cas semi-linéaire et N<4 dans le cas quasi-linéaire. On montre aussi l'existence de solutions globales faibles pour une classe de systèmes paraboliques quasi-linéaires dont les non-linéarités sont au plus quadratiques et dont les données initiales sont seulement supposées positives et intégrables.

Dans le dernier chapitre, on généralise un résultat d'existence globale de solutions fortes pour des systèmes de réaction-diffusion dont les non-linéarités ont une structure "triangulaire", pour lesquels on prend désormais en compte des termes d'advection et des coefficients de diffusion dépendant du temps et de la variable d'espace. Ce résultat est ensuite utilisé dans un argument de point fixe de Leray-Schauder pour prouver l'existence en toute dimension de solutions globales à un problème d'électromigration-diffusion.