Quelques problèmes de statistique autour des processus de Poisson

L’objectif principal de cette thèse est de développer des méthodologies statistiques adaptées au traitement de données issues de processus stochastiques et plus précisément de processus de Cox.
Les problématiques étudiées dans cette thèse sont issues des trois domaines statistiques suivants : les tests non paramétriques, l’estimation non paramétrique à noyaux et l’estimation minimax.
Dans un premier temps, nous proposons, dans un cadre fonctionnel, des statistiques de test pour détecter la nature Poissonienne d’un processus de Cox.
Nous étudions ensuite le problème de l’estimation minimax de la régression sur un processus de Poisson ponctuel. En se basant sur la décomposition en chaos d’Itô, nous obtenons des vitesses comparables à celles atteintes pour le cas de la régression Lipschitz en dimension finie.
Enfin, dans le dernier chapitre de cette thèse, nous présentons un estimateur non-paramétrique de l’intensité d’un processus de Cox lorsque celle-ci est une fonction déterministe d’un co-processus.

Mots-clés : Statistique fonctionnelle, processus de Cox, tests statistiques, théorie Martingale, processus ponctuels de Poisson, estimation de la régression, estimation Minimax, estimation de l’intensité, lissage à noyaux.

Abstract

The main purpose of this thesis is to develop statistical methodologies for stochastic processes data and more precisely Cox process data.
The problems considered arise from three different contexts: nonparametric tests, nonparametric kernel estimation and minimax estimation.
We first study the statistical test problem of detecting wether a Cox process is Poisson or not.
Then, we introduce a semiparametric estimate of the regression over a Poisson point process. Using Itô’s famous chaos expansion for Poisson functionals, we derive asymptotic minimax properties of our estimator.
Finally, we introduce a nonparametric estimate of the intensity of a Cox process whenever it is a deterministic function of a known coprocess.

Keywords : Functional Statistic, Cox process, test Statistic, Martingale theory, Poisson point process, regression estimate, Minimax estimation, intensity estimation, Kernel smoothing.