Modèles mathématiques de type «Hamiltonian Mean-Field» : stabilité et méthodes numériques autour d’états stationnaires

Résumé
Dans cette thèse, on étudie la stabilité orbitale d’états stationnaires de modèles mathématiques de type "Hamiltonian mean-field", dits modèles HMF. Cette étude est d’abord menée d’un point de vue théorique en utilisant des méthodes variationnelles. Puis, elle est menée d’un point de vue numérique en commençant par l’élaboration de schémas conservant exactement des états stationnaires.
Le Chapitre 2 présente une étude théorique de la stabilité orbitale des états stationnaires du modèle HMF Poisson. Plus précisément, on prouve la stabilité orbitale d’une grande classe d’états stationnaires solutions du système HMF avec potentiel de Poisson. Ces états stationnaires sont des minimiseurs d’un problème à une, deux ou une infinité de contraintes d’une certaine fonctionnelle. La preuve s’appuie sur une approche variationnelle. Cependant le caractère borné du domaine empêche l’utilisation des techniques usuelles basées sur des invariances d’échelles. On introduit alors de nouvelles méthodes, spécifiques à ce problème, mais demeurant dans l’esprit des outils de réarrangements introduits pour le système de Vlasov-Poisson. En particulier, ces méthodes permettent de considérer un nombre arbitraire de contraintes et aboutissent à un résultat de stabilité pour une grande classe d’états stationnaires.
Dans le Chapitre 3, on construit des schémas numériques conservant exactement des états stationnaires donnés. Ces schémas modélisent mieux la propriété de stabilité orbitale que les schémas classiques. Puis, on propose un schéma plus général en construisant un schéma qui conserve tous les états stationnaires des modèles HMF. Pour finir, à l’aide de ces schémas, est menée une étude numérique de la stabilité des états stationnaires du système de HMF Poisson qui vient compléter l’étude théorique du Chapitre 2.

Abstract
In this thesis, we study the nonlinear orbital stability of steady states of "Hamiltonian mean-field" models, called HMF models. First, this study is being done theoretically by using variational methods. It is then carried out numerically by building numerical schemes wich exactly preserve steady states.
Chapter 2 presents a theoretical study of the orbital stability of steady states which are solutions to the HMF Poisson system. More specifically, the orbital stability of a large class of steady states which are solutions to the HMF system with Poisson potential is proved. These steady states are obtained as minimizers of an energy functional under one, two or infinitely many constraints. The proof relies on a variational approach. However the boundedness of the space domain prevents us from using usal technics based on scale invariance. Therefore, we introduce new methods which, although specific to our context, remain somehow in the same spirit of rearrangements tools introduced for the Vlasov-Poisson system. In particular, these methods allow for the incorporation of an arbitrary number of constraints, and yield a stability result for a large class of steady states.
In Chapter 3, numerical schemes exactly preserving given steady states are built. These schemes model the orbital stability property better than the classic ones. Then, a more general scheme is introduced by building a scheme wich preserves all steady states of HMF models. Lastly, by means of these schemes, we conduct a numerical study of stability of steady states solutions to HMF Poisson system. This completes the theoretical study in Chapter 2.