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Discipline(s) : Mathématiques

Anneaux et arithmétique

Semestre Semestre 6
Type Obligatoire
Crédits ECTS 6
Volume horaire total 48
Volume horaire CM 24
Volume horaire TD 24

Responsables

Contenu

  1. Premières définitions
    Anneau, morphisme d'anneaux, noyau, image, idéaux, quotient, théorème de factorisation, éléments irréductibles, groupe des éléments inversibles.
  2. Exemples d'anneaux et d'idéaux
    Z, Z/nZ, A[X], corps, anneaux de fonctions continues, séries formelles.Notion d'algèbre (définition, morphisme). Étude des algèbres k[X]=(P) et des algèbres Z/nZ (endomorphismes de ces algèbres, résolution d'équations dans ces algèbres). Corps finis et applications en cryptographie (codes cycliques, protocoles El Gamal, Die-Helmann).
  3. Anneaux intègres, corps, diviseur de zéro...
    Anneau intègre, corps, diviseur de zéro, idéal premier, idéal maximal. Théorème des restes chinois général.
  4. Localisation (propriété universelle et existence)
    Exemple: corps des fractions d'un anneau intègre.
  5. Anneaux euclidiens
    Algorithme d'Euclide étendu. (exemples fondamentaux : Z et k[X], les entiers de Gauss, théorème des deux carrés.
  6. Anneaux principaux
    PGCD et PPCM dans un anneau principal, traduction en termes d'idéaux. Exemples d'anneaux non principaux.
  7. Anneaux factoriels
    Éléments irréductibles, définition, propriétés d'hérédité). Exemples d'anneaux non factoriels. Retour sur les anneaux de polynômes et polynômes irréductibles (critères d'irréductibilité).

Appartient à

Mise à jour le 8 novembre 2017