Étude des processus de Hawkes non-linéaires et applications en neurosciences

Résumé : L’apparition d’événements temporels dépendants, tels que les répliques des séismes, peut être étudiée mathématiquement dans le but d’une part de comprendre le mécanisme sous-jacent de succession des événements, d’autre part de prédire l’apparition de nouveaux événements.

Dans le cas d’intérêt pour ce projet de thèse, l’activité neuronale, l’étude porte sur l’activation d’une multitude de neurones inter-connectés. Outre la prédiction de nouvelles activations neuronales, il s’agit alors de comprendre l’interaction des neurones et en particulier de détecter la présence de groupes agissant de manière homogène, et le cas échéant de déterminer le type d’effet entre neurones (excitant ou inhibiteur).

La modélisation mathématique utilisée dans ce projet de recherche est celle des processus ponctuels, c’est-à-dire de plusieurs suites ordonnées de variables aléatoires réelles, chacune modélisant les temps d’activation d’un neurone. L’interaction entre neurones et la succession des événements est alors modélisée par un processus de Hawkes, stipulant que la probabilité instantanée d’une nouvelle activation dépend de manière non-linéaire de la durée qui sépare l’instant courant de toutes les activations passées. Cette dépendance est caractérisée par une fonction d’interaction, que l’on cherche à estimer grâce à des données observées.

Le projet de thèse vise à progresser dans deux directions. La première consiste en la prise en compte des effets inhibiteurs en neurosciences. En effet, si ceux-ci ont été observés, ils ont été peu étudiés sur le plan statistique. On s’attachera donc à proposer des procédures exactes d’estimation et à préciser leurs propriétés asymptotiques lorsque la fenêtre d’observation grandit. La seconde direction consiste en l’étude statistique d’un modèle récent dans lequel les neurones oublient le passé après chaque activation. Outre les aspects pratiques et théoriques de l’estimation de telles interactions, la pertinence statistique de cette nouvelle modélisation pour des applications en neurosciences sera illustrée.

Ma motivation :

Je suis motivée par ce projet de thèse pour plusieurs raisons. Tout d’abord, les applications potentielles en neurosciences sont fascinantes, et contribuer à la compréhension de l’interaction des neurones représente un défi captivant. Je suis également motivée par la diversité d’applications potentielles du processus de Hawkes, qui offre une approche intéressante pour étudier divers phénomènes temporels dans de nombreux domaines au-delà des neurosciences. Enfin, la variété des méthodes utilisées, alliant probabilités, statistiques et calculs numériques, représente une opportunité intellectuellement stimulante et enrichissante, qui me permettra d’acquérir une expertise polyvalente et de développer des compétences dans plusieurs domaines de recherche.

 

Mon parcours :

Mon parcours m’a progressivement mené à ce sujet passionnant. Depuis mon admission à l’ENS Rennes en 2020, j’ai exploré divers domaines des mathématiques. Lors de mon stage en Master 1, j’ai pu acquérir une première expérience concrète sur le processus de Hawkes, ce qui a nourri mon intérêt pour les phénomènes temporels dépendants. Les stages effectués le long de mon parcours ont été essentiels, car ils m’ont permis de découvrir le monde de la recherche et de confirmer ma passion pour ce domaine. Par la suite, la préparation de l’agrégation externe m’a permis de consolider mes bases dans tous les domaines des mathématiques, tout en me permettant de cerner mes centres d’intérêt. Cela m’a conduit à orienter mes études vers un Master 2 en probabilités et modèles aléatoires.