Alice Morinière

Institut de Recherche Mathématique de Rennes (IRMAR) Université de Rennes
Dir. Jean-Christophe Breton

Résumé.  On considère des collections de boules aléatoires dans ℝd associées à un processus ponctuel marqué générant les centres et les rayons des boules. On s’intéresse alors à des quantités associées à des mesures sur ce modèle. Ce genre de modèle trouve des interprétations en réseaux de communication (d=1, 2) ou en imagerie (d=2). Par exemple, en dimension d=1, les (demi-) boules correspondent à des intervalles qui peuvent s’interpréter comme des sessions de connexion à un certain serveur ; dans ce cas, la mesure de Lebesgue sur [0,t] permet de calculer la charge cumulative du serveur jusqu’à la date t. En dimension d=2, une mesure de Dirac en un point compte le nombre de boules couvrant ce point et cela s’interprète comme un niveau de gris en imagerie numérique.
Dans ce modèle de boules aléatoires, lorsqu’on zoome ou dézoome et qu’on adapte l’intensité du nombre moyen de boules, des phénomènes macroscopique ou microscopique émergent et les fluctuations des quantités d’intérêt font apparaître plusieurs types de régime, lorsque les boules sont générées par un processus ponctuel de Poisson.
Ces processus de Poisson correspondent à la situation où les boules ne sont pas corrélées (i.e., elles sont indépendantes les unes des autres). Une situation plus intéressante est celle où les boules sont corrélées (de façon attractive ou répulsive), cela correspond au cas de processus ponctuels plus généraux. Des travaux préliminaires existent dans cette direction, et la thèse a pour objectif d’enrichir la classe de processus ponctuels pour lesquels des fluctuations émergent lorsqu’on zoome ou dézoome. Pour cela, il sera nécessaire d’obtenir de nouveaux résultats pour le calcul stochastique de certains processus ponctuels. Ces résultats auront également leur propre intérêt pour l’analyse de processus ponctuels. La thèse entend considérer plusieurs types de processus ponctuels tels que processus ponctuels déterminantaux / permanentaux, processus ponctuels discrets stables, processus hyper-uniformes.

Motivation

« Depuis le début de mes études, le projet qui me guide a toujours été l’enseignement des mathématiques. C’est dans cette optique que j’ai passé l’agrégation et c’est également pour cela que je souhaite continuer mon parcours en thèse. En effet, à travers l’agrégation et mes différentes expériences d’enseignement (organisation d’un club de maths, cours particuliers, soutien scolaire) j’essaie de développer ma pédagogie et ma capacité à transmettre, mais il me semble aussi essentiel de prendre du recul sur ma manière de voir et de faire des mathématiques, et c’est en cela qu’une thèse me semble être une grande valeur ajoutée à mon parcours. 
De plus, même si l’enseignement reste mon objectif à terme, je souhaite approfondir ma découverte du monde de la recherche, dont l’aperçu lors de mes différents stages a attisé ma curiosité.
Même si je suis curieuse de découvrir différents domaines des mathématiques, j’ai développé au fil du temps un goût plus prononcé pour les probabilités et les statistiques. J’ai ainsi fait mes stages de 1re et 2e années dans ces domaines : En L3, j'ai effectué un stage sur l’analyse de survie, puis en M1 un stage sur la marche aléatoire de l’éléphant. 
Ces deux stages m’ont donné envie d’approfondir mes connaissances des probabilités et des statistiques, et de continuer mon cursus en découvrant la recherche au travers de ces matières. En 4e année j'ai suivi le parcours aléatoire de mon master incluant des cours de processus et calcul stochastiques qui m’ont particulièrement intéressée. C’est donc pour toutes ces raisons que les thématiques liées au sujet proposé par Jean-Christophe Breton me donnent envie de m’investir dans une thèse à ses côtés.
Lors de mes deux années en classes préparatoires puis de ma scolarité à l’ENS, j’ai appris à développer ma rigueur, mon organisation et ma capacité d’adaptation. Étant quelqu’un de très volontaire, je saurai m’investir pleinement dans ce grand projet et me montrer curieuse afin de tirer pleinement partie de cette expérience enrichissante. 
Enfin, ayant déjà travaillé avec Jean-Christophe Breton au cours d’un séminaire sur la topologie de Skorohod durant ma 2e année de Master, je pense que sa rigueur et sa bienveillance me fourniront un cadre parfait pour effectuer une thèse, en donnant le meilleur de moi-même tout en me permettant de m’épanouir dans ce nouvel environnement.