Clara Genes

Laboratoire J.A Dieudonné – Université Côte-d’Azur
Dir. François Delarue

Résumé. Ma thèse porte sur l’étude de la taille des ensembles d’équilibre dans les systèmes dynamiques discrets. Un système dynamique modélise l’évolution d’un état au cours du temps : une position d’équilibre est dite stable si, après une légère perturbation, le système y revient (comme un pendule au repos), et instable si toute perturbation l’en éloigne durablement (comme une bille au sommet d’un ballon). Mon sujet de thèse porte sur de tels systèmes discrets, dont on enregistre l’état à intervalles de temps réguliers. Mathématiquement, cela revient à étudier des suites de la forme z_{n+1}= f(z_n), avec une position initiale z_0 donnée.

Le cas où f est une application holomorphe d’une variable complexe a été très étudié. Pour de telles applications, l’ensemble de Julia constitue le régime stationnaire fondamental du système : il regroupe des positions instables dont la dynamique est chaotique. Sa structure est fractale. Des exemples d’objets fractals sont présents dans la nature, comme les flocons de neige ou les côtes maritimes. Leur taille est décrite par leur dimension de Hausdorff, une dimension qui n’est pas nécessairement un entier naturel (par exemple, il vaut environ 1.24 pour la côte bretonne).

En dynamique holomorphe d’une variable complexe, il a été démontré que l’on peut relier cette dimension à des mesures ergodiques portées par l’ensemble de Julia, en fonction de leur coefficient d’expansion. Ma thèse vise à étendre ces résultats au cas des applications holomorphes de deux variables, pour lesquelles il existe également un régime stationnaire fondamental. L’objectif est de déterminer une formule exacte pour la dimension des mesures ergodiques portées par ce régime instable, en fonction de leurs deux coefficients d’expansion. Des résultats partiels ont déjà été obtenus ; l’enjeu est d’en proposer une expression complète.

Motivation

« Depuis toujours, je nourris un vif intérêt pour les mathématiques. Durant mon parcours académique, et notamment durant mes échanges avec l’ENS de Pise, ce goût s’est précisé autour de la géométrie complexe et des systèmes dynamiques. C’est en particulier l’enthousiasme de mon futur co-directeur de thèse qui, au travers de son cours, m’a transmise un petit bout de sa passion pour ce domaine. Et même si je dois avouer avoir été un peu intimidée par le sujet au début, les discussions captivantes que j’ai pu avoir avec mon directeur de thèse m’ont complètement convaincue. Désormais, je ne peux qu’affirmer que mon sujet de thèse est un champ des mathématiques que je trouve esthétiquement magnifique et vraiment fascinant. »

Parcours

« Désireuse d’explorer différentes approches de la discipline, j’ai choisi, pour le second semestre de la 2e année à l’ENS, d’effectuer un échange Erasmus à l’École normale supérieure de Pise. Cette expérience m’a permis de suivre des cours avancés de géométrie, m’ouvrant les portes d’un domaine me fascinant particulièrement. J’ai alors choisi de faire mon année de Master 2 de Recherche à Pise sur le thème de la géométrie différentielle réelle et complexe en abordant également les systèmes dynamiques. Un cours, proposé par Fabrizio Bianchi, m’a particulièrement captivée en m’ouvrant la voie aux systèmes dynamiques holomorphe. Les connaissances que j’ai acquises durant mon parcours académique entre Rennes et Pise sont donc telles que le sujet de thèse proposé en codirection par Messieurs Christophe Dupont et Fabrizio Bianchi, s’inscrit parfaitement dans la continuité de mon parcours. »