Fabien Argelier

Institut de Mathématiques de Bordeaux
Directeur : Laurent Besssières

Résumé. Il s’agit d’un sujet en mathématiques fondamentales dans la thématique de l’analyse géométrique. Un problème ancien en géométrie est de comprendre les relations entre les géométries d’une variété et sa topologie. Une variété de dimension n est l’analogue n-dimensionnel d’une surface : c’est un espace semblable localement à l’espace euclidien de dimension. Elle peut être compacte (comme la sphère ou le tore) ou non (comme le plan). La question est de savoir quelles géométries admet une variété de topologie donnée. Un invariant géométrique important est la courbure scalaire, une fonction mesurant le défaut volumique de la géométrie d’être localement euclidienne. Ainsi, la sphère (ronde) est de courbure constante positive et n’a pas de géométrie à courbure nulle ou négative et le tore ne peut avoir une courbure partout positive. Dès la dimension 3 cependant, le problème est très difficile : il a fallu attendre les années 2000 et Perelman pour classifier les 3- variétés compactes à courbure scalaire >0 (en prouvant au passage la conjecture de Poincaré et la conjecture de Géométrisation, qui est que toute variété compacte peut-être découpée le long de sphères et de tores en morceaux ayant une géométrie homogène). Pour les variétés non compactes, la question suivante posée dans les années 80 par Yau reste ouverte, malgré des avancées récentes :
Quelles sont les 3 variétés non compactes admettant une géométrie de courbure scalaire positive ?

En dimension 4 et 5, il n’a été prouvé que très récemment que les variétés asphériques (une classe topologique qui généralise les tores n-dimensionnels) n’admettaient pas de géométrie à courbure scalaire positive. Les progrès depuis les années 2000 ont été réalisés grâce à de nouveaux outils géométriques de nature analytique : flot de Ricci (évolution de la géométrie sous l’effet d’une équation type de la chaleur) surfaces minimales ou mu-bulles (sous-variétés satisfaisant une contrainte type bulle de savon). Le projet de thèse propose d’utiliser ces outils pour investiguer quelques questions sur les variétés de petite dimension et la courbure scalaire positive.

Motivation.

« J'ai toujours été quelqu'un de très curieux, souvent qualifié de « touche-à-tout », ce qui m'a conduit vers mille passions, certaines plus passagères que d'autres : devenir mangaka, joueur d'échecs, recordman du temps de résolution d'un Rubik's cube, évidemment footballeur professionnel, faire de la politique etc. Mais une seule a traversé l’ensemble de mon parcours : mon intérêt pour l’abstraction mathématique. . Au début, pour faire plaisir à mes professeurs, mes parents, puis je me suis rendu compte que j'étais fasciné, attiré par la rigueur et l'élégance du raisonnement, le fait de pouvoir le comprendre, le visualiser, le vulgariser par des considérations physiques ou géométriques. C'est ainsi qu’après une classe préparatoire sans réelle ambition au début, me voilà maintenant à ma sixième année d'études supérieures en mathématiques. 

Issu d'une famille nombreuse et modeste, j'y ai appris à être persévérant et ne pas me laisser intimider. Ce caractère a aussi été nourri par mes années d’école, de football, et maintenant d'escrime, et par certains enseignants ou entraîneurs qui ont, selon les cas, remis en question ou m’ont au contraire, convaincu de mes capacités. Chaque étape de mon parcours académique vers les mathématiques fondamentales représente pour moi une revanche sur les déterminismes culturels et sociaux. L'allocation normalienne obtenue à mon entrée à l'ENS Rennes, sur dossier, a été décisive dans mon épanouissement au cours de mes 4 années de scolarité, me permettant d'alléger des contraintes financières et me permettant de continuer à apprendre et à développer mes goûts, que ce soit sur le plan des mathématiques que sur le plan personnel.

Désormais, je souhaite rendre ce que l'on m'a donné. Par certaines rencontres clés, j'ai développé une estime et une admiration particulières pour ces enseignants et enseignantes qui se dédient tant à leur métier. Les différentes expériences que j'ai pu avoir - en donnant des cours particuliers, en préparant l'agrégation et en faisant passer des khôlles en classe préparatoire ont confirmé cette envie d'exercer, à mon tour, ce métier au rôle social si important. Parallèlement, mes stages m’ont permis de découvrir le monde de la recherche, que je souhaite désormais approfondir en poursuivant en doctorat.

J'ai effectué un premier stage en L3 à l'Université de Bordeaux auprès de M. Florent Jouve en théorie des nombres, et puis un second stage en M1 à l'Université du Québec à Montréal auprès de M. Frédéric Rochon en géométrie riemannienne. Attiré par ces thématiques, j’ai intégré le M2 Recherche de l’Université de Bordeaux.  Le cours de M. Laurent Bessières a confirmé mon goût pour la géométrie riemannienne. Très utilisée en ingénierie, aussi bien pour la conception d'objets réels que de jeux vidéo, cette théorie permet de décrire dans un cadre mathématique cohérent nombre de solides et de surfaces qui nous entourent au quotidien (ballon, falaise, selle de vélo par exemple) en dimension 2 et 3. L'enjeu est de comprendre les propriétés géométriques de ces objets, et de les classifier selon celles-ci.

Le sujet de thèse proposé par M. Bessières s’intéresse à ces structures en dimension 3, autour de la courbure scalaire et de l’utilisation de mu-bulles, une variété riemannienne, d’hypersurfaces. Ce concept, étudié pendant mon stage de M2, sous la supervision de M. Bessières, généralise celui de surfaces minimales que j'ai déjà étudié lors de mon stage de M1 à Montréal, et qui correspondent au cas où la fonction considérée est identiquement nulle sur la variété. Dans cette continuité, la poursuite en doctorat me permet d'approfondir mes connaissances et contribuer à la recherche dans le domaine.

On dit souvent qu'une thèse est la rencontre d'un encadrant, d'un sujet et d'un étudiant : je suis prêt pour cette nouvelle aventure, parfaitement alignée avec mon projet et mes aspirations.