Lucas Toury

Université de Strasbourg
Dir. Dragos Fratila

Résumé.  L’objet de ma thèse est d’étudier les algèbres de Hall. À une catégorie d'objets avec des conditions de finitude on peut associer une algèbre dont la multiplication encode les extensions possibles entres les objets de la catégorie. L'objet que l'on obtient s'appelle l'algèbre de Hall de la catégorie. Par exemple, pour les p-groupes abéliens finis on retrouve ainsi les fonctions symétriques avec une base préférentielle donnée par les fonctions de Schur. Pour les représentations des carquois on peut obtenir des groupes quantiques et pour les faisceaux cohérents sur une courbe, la théorie des formes automorphes.
Dans des cas favorables il est aussi possible de munir cette algèbre d'un coproduit en la rendant une bigèbre. Cette structure supplémentaire est cruciale dans les cas mentionnés pour obtenir des informations fines sur l'algèbre de Hall et donc sur la catégorie de départ. Cependant, pour beaucoup de catégories d'intérêt (représentations de carquois avec relations, faisceaux cohérents sur une surface, etc.) on n'a pas de coproduit compatible avec l'algèbre de Hall. Un objectif recherché de cette thèse serait donc d’étendre ce résultat à d’autres familles d’algèbres de Hall.
Dans ces dernières années ces algèbres ont été beaucoup étudiées pour leurs applications en théorie des invariants énumératifs (par exemple Donaldson-Thomas). Une structure de coproduit compatible avec l'algèbre de Hall serait donc très utile pour pouvoir récupérer, comme on l'a dit au début, des invariants fins (algèbre de Lie BPS) de la catégorie de départ.
L’objectif de cette thèse est donc d’étudier de manière plus systématique l’existence d’un tel coproduit compatible. Ces dernières années d’autres structures au cœur même du processus des algèbres de Hall ont été découvertes et donne donc un panel d’exemples beaucoup plus large pour pouvoir les étudier et comprendre des propriétés plus profondes.

Motivation

 « Cette thèse parvient à faire communiquer beaucoup de domaines mathématiques qui m’ont accompagné tout au long de ma scolarité. L’algèbre évidemment avec un aspect très catégorique qui me plaît beaucoup, la théorie des représentations, un peu de topologie que l’on retrouve sous plusieurs formes comme du côté de la géométrie algébrique par exemple et enfin de la combinatoire. 
Depuis le collège, je souhaite être chercheur et je trouve que ce sujet correspond aux attentes et envies du jeune mathématicien que j’étais il y a quelques années. C’est une belle question, une jolie énigme qui m’est proposée avec encore beaucoup de chemin à parcourir avant d’en avoir la réponse. 
Au-delà même du sujet, la ville, l’encadrement, l’université, la nature et l’environnement sportif me réjouisse de passer quelques années à Strasbourg.»

Parcours

« Après une classe préparatoire je suis entré à l’ENS tout d’abord sur dossier avant de réussir le second concours à la fin de ma première année. 
Les mathématiques que j’ai découvertes à l'ENS Rennes ont affinées mes goûts et étaient plus en correspondance avec mon profil que lors de ma prépa. J’ai été très attiré par la topologie algébrique, domaine dans lequel j’ai effectué mon stage de L3 en théorie des nœuds ainsi que mon stage de M1 sur les groupes de dimension à Santiago du Chili. 
Ma troisième année durant laquelle j’ai passé l’agrégation m’a permis de découvrir la théorie des représentations des groupes finis et de m’ouvrir à cette nouvelle branche. Cette heureuse découverte m’a permis de finement choisir le master qui me correspondait le mieux et de finalement continuer ma thèse dans cette direction. »