Mattéo Miannay

Institut de Recherche Mathématique de Rennes (IRMAR) Université de Rennes
Dir. François Bolley de l’ENS Rennes - Co-encadrant. Paul-Eric Chaudru de Raynal 

Résumé.  L’objectif de la thèse consiste à exhiber des phénomènes de création du chaos dans des dynamiques aléatoires de grande dimension en interaction de champ moyen.
Les dynamiques considérées sont des solutions d'équations différentielles stochastiques couplées décrivant l'évolution d'un grand nombre N d'agents : il s'agit donc de systèmes d'équations en grande dimension. Chaque composante du système (agent) est soumise à un aléa brownien et ressent l'action des autres agents de manière moyennée : on parle d'interaction de champ moyen.
De tels systèmes permettent de modéliser la dynamique de grandes populations d'agents en interaction. La terminologie d'agents est générique et peut référer à des modèles de physique statistique (molécules de gaz), de biologie (neurones), écologiques (animaux) économiques et sociaux (agents économiques) et en intelligence artificielle (neurones artificiels).
Lorsque le nombre N d'agents est grand, on peut observer un phénomène de moyennisation induisant une dynamique typique, commune à chaque agent : on parle de limite de champ moyen. Ce phénomène et sa quantification s'avèrent cruciaux pour l'étude numérique et théorique du système et du point de vue de la modélisation.
Mathématiquement, il repose sur un argument de loi des grands nombres qui peut être quantifiée en fonction du nombre N d'agents. Un point crucial est la propagation en tout temps, par la dynamique, d’une propriété de quasi-indépendance des données initiales pour N grand, appelée chaos initial : on parle de propagation du chaos. Cette propriété a déjà été démontrée pour certains modèles et, suivant les modèles, quantifiée de manière optimale ou non.
L'objectif de cette thèse est de déterminer pour quels modèles, c'est-à-dire sous quelles conditions sur les forces du système, le chaos est non seulement propagé par la dynamique, mais même créé par l'aléa et les interactions, permettant ainsi de démontrer et quantifier, si possible de manière optimale, la limite de champ moyen même pour des données initiales non chaotiques