Samuel Gallay

Laboratoire J.A Dieudonné – Université Côte-d’Azur
Dir. François Delarue

Résumé. Le sujet de thèse porte sur l’analyse mathématique de systèmes aléatoires de grande taille. Typiquement, ces systèmes sont constitués d’agents rationnels doués d’une capacité de décision et soumis à un aléa, cherchant de façon collective ou individuelle à maximiser leur bien-être, et interagissant les uns avec les autres au travers de quantités agrégées (interaction dite à champ moyen). Originellement issus de la physique puis de l’économie, ces modèles sont aujourd’hui repris dans de nombreuses disciplines comme l’apprentissage statistique.

L’objectif est ici d’adapter certains des développements obtenus récemment dans l’étude de grands systèmes de particules libres (sans capacité de décision) au cas de tels agents rationnels. La thèse s’appuiera en particulier sur les derniers résultats établis autour de– l’équation de Dean-Kawasaki, utilisée pour capturer les fluctuations asymptotiques de la distribution statistique de particules libres en interaction champ moyen autour de leur régime moyen. Elle visera de fait à donner une analyse exhaustive du système obtenu en couplant l’équation de Dean-Kawasaki, comprise comme une équation de Fokker-Planck stochastique, avec des critères d’optimisation individuels ou collectifs, formulés à l’aide d’une équation de Hamilton-Jacobi-Bellman stochastique.

Trois étapes principales sont de fait envisagé : (i) l’étude du système Dean-Kawasaki/Hamilton-Jacobi-Bellman ; (ii) l’étude de l’équation maîtresse, posée sur l’espace des mesures de probabilités et ayant pour caractéristiques le système Dean-Kawasaki/Hamilton-Jacobi-Bellman ; (iii) l’étude de la distance entre les solutions du système Dean-Kawasaki/Hamilton-Jacobi-Bellman et les solutions des problèmes d’optimisation de taille finie.

Sur un plan appliqué, il est de fait espéré que cette approche conduise à des approximations asymptotiques plus fines des solutions des problèmes d’optimisation de grande taille.


Motivation

« Issu d’une classe préparatoire à Grenoble, j’ai intégré sur concours le département Mathématiques de l’ENS Rennes. Durant mes premières années, j’ai suivi une formation généraliste en suivant par curiosité des cours en analyse et en algèbre. Aimant la programmation autant que les mathématiques depuis le début du lycée, j’ai profité de ces années pour finir en parallèle une licence d’informatique. Ainsi, à la fin de ma L3, je suis retourné à Grenoble pour effectuer un stage avec Vanessa Vitse en cryptographie : un domaine des mathématiques à l’interface avec l’informatique.
En M1, je me suis orienté vers des problématiques proches de cette thèse. Ayant apprécié les cours sur les probabilités à Rennes, j’ai effectué un stage à Berlin avec Oleg Butkovsky sur la régularisation par le bruit d’équations différentielles stochastiques : une équation différentielle déterministe mal posée peut devenir bien posée en ajoutant un terme de bruit aléatoire. Nous avons pu montrer une existence faible de solutions à notre équation dans un nouveau régime, avec comme bruit un mouvement brownien fractionnaire ou un processus de Lévy. Ce travail a donné lieu à l’écriture d’un article, qui, faute de temps, n’a pas encore été publié. J’ai néanmoins présenté ces travaux sous forme de poster lors de conférences à Turin et à Lausanne. Lors de ce séjour, j’ai également suivi un cours de Nicolas Perkowski sur le calcul de Malliavin, un outil mentionné dans ce sujet de thèse. Cette première expérience a confirmé mon intérêt pour ce type de mathématiques.
En troisième année, j’ai préparé l’agrégation davantage comme un filet de sécurité en vue d’une carrière académique dans la recherche que pour l’enseignement. J’ai en parallèle poursuivi mes travaux avec Oleg Butkovsky. Malgré quelques lacunes en algèbre, liées à cette charge de travail supplémentaire, j’ai obtenu un classement honorable à l’agrégation de mathématiques en me plaçant treizième au concours.
Impatient d’approfondir ces thématiques, j’ai suivi un large éventail de cours utiles à l’étude des équations différentielles stochastiques, parmi lesquels ceux de contrôle stochastique et de jeux à champ moyen de Pierre Cardaliaguet (collaborateur de François Delarue), ainsi qu’un cours sur les chemins rugueux dispensé par Lorenzo Zambotti à Jussieu.
Même s’il me faudra encore bien des lectures pour comprendre finement les problèmes précis sur lesquels je vais travailler pendant ces trois années de thèse, je pense y être bien préparé, grâce notamment à une première expérience de recherche, plaisante et réussie, dans un domaine similaire à Berlin, et l’approfondissement de mes connaissances en M2 à Paris. Par ailleurs, un des intérêts de l’équation de Dean-Kawasaki est la simulation numérique de systèmes de particules. Mes compétences en informatique et en analyse numérique pourront peut-être être mises à contribution.
Bien que je ressente encore une certaine appréhension face aux problèmes à venir, je suis convaincu que cette thèse me permettra d’acquérir des compétences solides qui me seront utiles pour la suite de ma carrière. La réputation de François Delarue, vivement recommandée par plusieurs enseignants, ainsi que les retours très positifs de ses anciens doctorants renforcent ma motivation. Enfin, le stage de M2 effectué sous sa direction sur ce même sujet m’a permis d’aborder la thèse avec un peu d’avance. »