Thomas Courant

Université de Rennes - Institut de recherche mathématique de Rennes (IRMAR),
Dir. Louise Gassot et Miguel Rodrigues

Résumé. Les systèmes d’équations aux dérivées partielles sont depuis longtemps un des outils de modélisation les plus universels. Parmi ceux-ci la classe des systèmes hamiltoniens joue un rôle particulier, comme ceux encodant la conservation d’une quantité d’importance (énergie, entropie,...). Cela inclut comme exemples les plus simples, les équations de Newton quand les forces dérivent d’un potentiel. Au moins au premier ordre, ces systèmes hamiltoniens apparaissent fréquemment dans la modélisation de toutes sortes de situations.

À l’intérieur des systèmes hamiltoniens, les systèmes complètement intégrables tiennent une place particulière. En un certain sens ils peuvent être résolus explicitement et donc être analysés beaucoup plus finement qu’un système générique. Bien que cette classe contiennent certaines des équations d’intérêt universel (comme l’équation de Korteweg-de Vries (KdV) ou celle de Schrödinger cubique (NLS) en dimension 1), elle est par nature assez restreinte.

Une problématique classique consiste alors à essayer de départager parmi les propriétés que l’on arrive à démontrer pour les équations intégrables celles qu’il serait difficile de démontrer sans l’intégrabilité mais qui persistent sans elle de celles qui sont vraiment exceptionnelles et propres à l’intégrabilité. Un angle d’attaque naturel passe par l’analyse de la dynamique des équations obtenues comme perturbations d’une équation intégrable.
L’objectif de cette thèse est de réaliser un tel programme pour l’équation de Benjamin-Ono (BO) (dont l’encadrante est l’une des meilleur.e.s spécialistes) avec une attention particulière pour la dynamique proche des constantes et/ou proche des ondes progressives périodiques (dont l’encadrant est l’un des meilleur.e.s spécialistes). Pour cela elle pourra aussi s’appuyer sur des travaux de l’encadrant autour de (KdV) et de (NLS).

Motivation

« Ce projet porte sur la dynamique d’équations aux dérivées partielles non-linéaires proches d’équations intégrables, en particulier, autour de l’équation de Benjamin-Ono. J’ai découvert ce champ de recherche en assistant aux séminaires Bourbaki à l’Institut Henri Poincaré, ainsi qu’à la conférence de lancement de l’ANR HEAD (Hyperbolic Equations, Approximations and Dynamics) où j’ai notamment suivi le mini-cours de Louise Gassot sur les chocs dispersifs pour les équations intégrables. En 4e année, les cours passionnants de Miguel Rodrigues sur les équations hyperboliques et de Louise Gassot sur les équations dispersives, m’ont convaincu de poursuivre en thèse dans le domaine des équations aux dérivées partielles non-linéaires. Enfin, mon stage de M2 encadré par ces mêmes chercheurs, m’a permis d’approfondir ces thématiques avant le début de ma thèse.
Mon intérêt pour ces questions remonte à mon arrivée à l’ENS. Il m’a conduit à effectuer en L3 un stage encadré par Jérôme Fehrenbach de l’Institut de Mathématiques de Toulouse, sur la résolution numérique de l’équation eikonale, puis en M1 un stage, encadré par Frédéric Rochon au département de Mathématiques de l’Université du Québec à Montréal, sur l’étude du flot de la courbure moyenne pour des variétés compactes. 
En 3e année, j’ai choisi de préparer l’option B (calcul scientifique) de l’agrégation, avant de poursuivre en M2 Mathématiques Fondamentales de l’Université de Rennes, qui intégrait les cours autour des EDP du parcours analyse (théorie spectrale, espaces de Sobolev et équations elliptiques, équations hyperboliques, analyse microlocale, équations dispersives, propagation d’ondes en milieu complexe). 
Plus globalement, mon envie de faire de la recherche en mathématiques remonte à mon arrivée dans le supérieur. Puis, mes années à l’ENS et surtout les stages n’ont fait que consolider cette envie. Ceci explique ma motivation à poursuivre mes études en thèse, l’objectif à terme étant de faire de la recherche dans ce domaine. 
En conclusion, je suis très enthousiaste à l’idée de contribuer à la recherche dans ce domaine qui a connu des avancées très récemment. De plus, le cadre de ce projet et l’accompagnement de mes directeurs de thèse constituent une opportunité unique pour moi d’approfondir mes connaissances et me former au mieux pour pouvoir postuler à terme sur un poste de chercheur. »